Разлагане на квадратен тричлен на множители.
Време е за един много, много важен урок! Иска се майсторство и търпение, за да решаваме задачи с разлагане на квадратен тричлен на множители. Ще разгледаме кои методи са подходящи и при какви условия можем да ги използваме.
Разлагане на квадратен тричлен от вида x2 + ax+b
Този вид разлагане се среща често. Тук трябва да направим малко разсъждения преди да разложим квадратния тричлен. Има две условия, които трябва да са налични, за да можем да използваме този метод на разлагане.
a и b трябва да са цели числа, които не са равни на 0.
Трябва да съществуват две цели числа s и t, за които s + t = a и s.t = b
- Първо разглеждаме двойките цели делители на числото b
- Откриваме кои от делителите на b имат сбор, равен на a (s + t).
- Представяме средния член ax като sx+tx
- Прилагаме метода на групирането, за да разложим получения многочлен.
Пример №1
Разложете на множители многочлена x2 +3x—10.
- Намираме делителите на числото —10 и записваме двойките, чието произведение е равно на —10.
— 1 и 10
1 и —10
—2 и 5
—5 и 2
- Сега проверяваме сборът на кои делители е равен на 3
Единствената възможност е това да са 5 и —2, тъй като 5 +(— 2) = 3
- Представяме квадратния тричлен във вида x2 + 5x — 2x —10
- Разлагаме получения многочлен като използваме метода за групиране
x2 + 5x — 2x —10 = (x2 + 5x) + (—2x — 10) = x( x + 5) — 2(x + 5) = (x + 5)(x — 2)
Пример №2
Разложете на множители многочлена x2 + 12x + 35
- Намираме делителите на числото 35 и записваме двойките, чието произведение е равно на 35.
7 и 5
—5 и —7
Сега проверявам сборът на кои делители е равен на +12
Единствената възможност е това да са 7 и 5 , тъй като 7 + 5 = 12
- Представяме квадратния тричлен във вида x2 + 7x + 5x +35
- Разлагаме получения многочлен като използваме метода за групиране
x2 +7x +5x + 35 = (x2 + 7x) + (5x + 35) = x( x + 7) + 5(x +7) = (x +7)(x + 5)
Разлагане на квадратен тричлен чрез допълване до точен квадрат (отделяне на точен квадрат)
Този метод има по-голямо приложение. Използва се при намиране на най-голяма или най-малка стойност на израз.
Ще разгледаме първо случая, в който квадратният тричлен може да се разложи като може да се използват формулите за квадрат на сбор или разлика на два израза.
Общият вид на квадратния тричлен е ax2 + bx + c.
- Числото a може да се представи като точен квадрат.
- Представяме b като множители, така че да получим удовоеното произведение от формулите за сбор или разлика на два израза на квадрат.
- Добавяме и изваждаме квадрата на втория израз от формулата (така не променяме израза).
- Отделяме точния квадрат на сбора или разликата на двата израза.
- Пресмятаме сбора на свободните членове (или двата члена), които остават извън точния квадрат, и го представяме като точен квадрат.
- Прилагаме формулата за разлика на квадрати.
Пример №1
Да разложим на множители многочлена 4z2 + 5z + 1.
- Числото 4 може да се представи като точен квадрат: 4 = 22
4z2 + 5z + 1 = (2z)2 + 5z + 1
- Представяме 5 като множители, така че да получим удвоеното произведението от формулите за сбор или разлика на два израза на квадрат, като единият израз е 2z.
(2z)2 + 5z +1 = (2z)2 + 2.2z.(5/4) + 1
- Добавяме и изваждаме квадрата на втория израз от формулата (така не променяме израза).
(2z)2 + 2.2z.(5/4) + 1 = (2z)2 + 2.2z.(5/4) + (5/4)2 — (5/4)2 +1
- Отделяме точния квадрат на сбора или разликата на двата израза
(2z)2 + 2.2z.(5/4) + (5/4)2 — (5/4)2 +1 = (2z + 5/4)2 — (5/4)2 +1
- Пресмятаме сбора на двата едночлена, които остават освен формулата и го представяме като точен квадрат.
(2z + 5/4)2 — (5/4)2 +1 = (2z + 5/4)2 — 9/16 = (2z + 5/4)2 — (3/4)2
- Прилагаме формулата за сбор по разлика на два израза
(2z + 5/4)2 — (3/4)2 = (2z + 5/4 +3/4)(2z+5/4—3/4) = (2z + 2)(2z+1/2)
Можем да изнесем извън скоби числото 2 от първите скоби и след това да го вкараме във вторите скоби. Това е прието да се прави, когато имаме обикновена или десетична дроби в скобите).
(2z + 2)(2z + 1/2) = 2(z + 1)(2z + 1/2) = (z + 1)(4z + 1)
Намиране на най-малка или най-голяма числена стойност на израз
При този вид задачи отново отделяме точен квадрат. Тъй като квадратът на два израза е по-голям или равен на 0, разсъждаваме за числената стойност на целия израз.
Пример:
Намерете най-малката стойност на израза x2 — 8x + 6.
- Минаваме през вече описаните стъпки за отделяне на точен квадрат (допълване до точен квадрат).
x2 — 8x +6 = x2 — 2.x.4 + 6 = x2 — 2.x.4 +42 — 42 + 6 = (x — 4)2 — 16 + 6 = (x — 4)2 — 10.
- Изразът (x — 4)2 има стойност по-голяма или равна на 0. Можем да преценим, че изразът (x — 4)2 — 10 ще има най-малка стойност, ако е (x — 4)2 е равен на 0. Тогава най-малката числена стойност на израза е —10, която се достига при x — 4 = 0, т.е. при x = 4.
Заключение
Методите за разлагане на квадратен тричлен са ключов инструмент в математиката и намират приложение в множество задачи. Усвояването на тези техники не е просто наизустяване, а изграждане на логическо мислене. Сега, когато вече познавате тази магия, приложете я с увереност в задачите от теста!
