Тъждеството (a+b)(a-b) = a² – b² сбор по разлика на два израза

В алгебрата често срещаме изрази със скоби, които изглеждат дълги и трудни за пресмятане. Но математиката има своите „съкратени пътища“ – специални формули, които ни помагат да опростяваме задачите по-бързо и лесно.

Една от тези формули е тъждеството сбор по разлика на на два израза. Тя изглежда просто, но е много полезна. Може да я срещнете в задачи за преобразуване на изрази, намиране на стойности и дори в по-сложни теми като уравнения.

1. Теоретична част

Произведението на сбора и разликата на два израза е равно на първия израз, повдигнат на квадрат, минус втория израз, отново повдигнат на квадрат.

🔹 Формула:

Ако означим а и b съответно с А и B, то формулата може да се запише схематично като:

(A + B)(A – B) = A² + B²

🔹 Обяснение стъпка по стъпка

Умножаваме a по a и получаваме a².

1. Умножаваме a по +b → получаваме +a.b.
2. Умножаваме −b по a → получаваме −a.b.
3. Умножаваме −b по +b → получаваме −b².
4. Двете смесени произведения +a.b и −a.b се унищожават взаимно.

Остава: a² − b²

🔹 Кога се използва?

Формулата може да се приложи, когато имаме произведение на два израза, които:

👉са в скоби и са огледални (пример: x+7 и x−7).

👉са еднакви, но се различават само по знака между тях – единият е „+“, другият „–“;

2. Примери с решения✅:

Пример 1

Приведи в нормален вид:

Решение:

Пример 2

Приведи в нормален вид:

Решение:

Пример 3

Намери стойността на:

Решение:

👉 Това е чудесен пример, че формулата може да ни спести време, защото вместо да умножаваме 49 по 51, използваме квадрата на 50.

Пример 4

Приведи в нормален вид:

Решение:

3. Приложение на формулата в реалния живот 🌍:

Може да изглежда, че „разлика на квадрати“ е само суха математика, но тя се използва:

във висшата математика – за факторизация на изрази.

в бързи изчисления (напр. за намиране на произведения на числа, близки до кръгли – 99·101, 49·51 и др.);

в алгебрични опростявания, когато решаваме уравнения;

4. Заключение

Разликата на квадрати е една от най-лесните и най-полезни формули в алгебрата. Тя показва, че математиката не винаги е дълги сметки – често има скрити „вратички“, които ни спестяват време.

Запомни формулата: (a+b)(a-b)=a²−b²

и ще имаш верен помощник във всички задачи, в които се появяват огледални изрази.