Разлагане на многочлени на множители чрез формули за съкратено умножение
Здравейте! Днес ще се запознаем с още едно приложение на формулите за съкратено умножение. Чрез тях в някои примери можем да представим многочлените като произведение на множители или както още го наричаме – да ги разложим на множители. Трябва добре да познаваме формулите, за да можем да ги разпознаваме и използваме. Днес ще разгледаме разлагане на многочлени чрез използването на формулата за разлика на квадрати и формулата за сбор или разлика на кубове на два израза.
Разлагане на многочлени чрез формулата a2 – b2 = (a+b)(a-b)
За да използваме тази формула са ни нужни изрази или едночлени на втора степен.
Пример №1
Нека разложим многочлена 25y2 — 100.
Можем да представим и двата едночлена като точни квадрати и след това да приложим формулата за разлика на квадрати на два израза.
25y2 — 100 = (5y)2 — 102 = (5y + 10)(5y — 10)
Пример №2
Да разложим на множители (а — 4)2 — 9a2.
Представяме едночелнът 9a2 като квадрат на 3а и прилагаме формулата. След това привеждаме в нормален вид получения израз.
(а — 4)2 — 9a2 = (а — 4)2 — (3а)2 = (а — 4 + 3а)(а — 4 — 3а) = (4а — 4)(—2а+4)
Пример №3
Разложете на множители (x — 5)2 — (x + 3)2
(x — 5)2 — (x + 3)2 = ((x — 5) + (x + 3))((x — 5) — (x + 3)) = (x — 5 + x +3)(x — 5 — x —3)= (2x — 2)(—8) = 2.(—8)(x — 1) = —16(x — 1)
Когато разлагаме с тази формула, трябва да сме внимателни при записването на разликата на двата израза. Не забравяйте да смените знаците при разкриването на скобите, ако пред тях знакът е минус!
Разлагане на многочлени чрез формулата a3 ± b3 = (a + b)(a2 ∓ab + b2)
При тази формула ще трябва да откриваме едночлени или изрази на трета степен (на куб). Нека да разгледаме няколко примера.
Пример №1
Нека разложим многочлена 125b3 + 8.
Първо представяме двата едночлена като точни кубове и след това прилагаме формулата.
125b3 + 8 = (5b)3 +23 = (5b + 2)((5b)2 — 5b.2 + 22) = (5b + 2)(25b2 — 10b +4)
Пример №2
Да разложим на множители многочлена (1 — y)3 — 64y3
Представаме 64y3 като (4y)3 и прилагаме формулата.
(1 — y)3 — 64y3 = (1 — y)3 — (4y)3 = ( 1 — y —4y)((1 — y)2 + (1 — y)4y + (4y)2) = (1 —5y)(1 —2y + y2 + 4y — 4y2 + 16y2) =
= (1 —5y)(13y2 + 2y +1)
Пример №3
Нека разложим този многочлен (4 — b)3 + (b + 2)3. Можем направо да приложим формулата:
(4 — b)3 + (b + 2)3 = ((4 — b) + (b + 2))((4 — b)2 — (4 — b).(b + 2) + (b + 2)2)=
= ( 4 — b + b +2) (42 — 2.4.b + b2 — (4b +8 — b2 — 2b) + b2 + 2.2.b + 4) =
= 6. ( 16 — 8b + b2 + b2 — 2b —8 + b2 + 4b + 4) = 6(3b2 — 6b +12) = 6.3(b2 — 2b+4) = 18(b2 — 2b+4)
Практически съвети
Ето някои полезни съвети, които са резултат от често срещани грешки на учениците.
- Не забравяйте, че не може да разложите на множители сбор на квадрати т.е. a2 + b2
Не може да разложите 4x2 + 25, въпреки, че можем да ги представим като (2x)2 + 52.
- Проверете дали в израза имате едночлени, които са точни квадрати или точни кубове.
Добре е да научите на колко са равни вторите степени на числата до 20 и третите степени поне на числата до 7.
- Избягвайте да разкривате “наум” скобите, когато пред тях има минус
Ако част от решението изглежда така —(2x + 3)(5 — 4x) , извършете първо действията в скобите и след това разкрийте скобите:
—(2x + 3)(5 — 4x) = — (10x — 8x2 +15 — 12x) = —10x + 8x2 — 15 + 12x
- Проверете дали не можете да изнесете общ множител от някоя от скобите, често израза може да се доразложи
Ако сме разложили многочлена до този етап 6(3b2 — 6b +12), може да пропуснете, че в скобите едночлените имат общ делител – числото 3, който трябва да се изнесе извън скоби.
А сега е време да се упражните със следващия тест!
