Моделиране с уравнения или как да решаваме текстови задачи като съставим уравнения

Дойде времето за най-интересните задачи в математиката- текстовите задачи! Знам, че понякога много ви затрудняват, но всъщност те ще са ви най-полезни за напред! Днес ще научим какво е това моделиране с уравнения и през какви стъпки минаваме, когато решаваме текстови задачи.

Моделиране с уравнения

Да моделираме с уравнение една текстова задача означава, да я напишем на математически език. Трябва да разкодираме задачата като изберем подходящо неизвестно и съставим уравнение, което ще ни помогне да отговорим на поставения въпрос. Ние се превръщаме с детективи, които трябва да разрешат поставения ни проблем!

Много по-доволни се чувстваме, когато решим една текстова задача, защото при нея трябва сами да съставим уравнението и да си отговорим на няколко важни въпроса. Също както и в живота често ще се налага да вземем решения, да помислим за решение на проблем и да разсъждаваме над него.

Стъпки при решаването на текстови задачи (при моделирането с уравнение)

Ако минаваме през едни и същи стъпки, когато решаваме текстови задачи, ще ни бъде много лесно.

За да разберем тези стъпки, ще решим ето тази задача:

Учениците от 6.Г клас решили да разкрасят алеята около училището им. Всяко момче нарисувало по един герой от видео игра, а всяко момиче- по два героя от любимата си книга. Ако общият брой на учениците е 26, а броят на рисунките е 36, намерете броят на момчетата.

• Избираме подходящо неизвестно

Тук е най-удобно да изберем за неизвестно число броя на момчетата, защото когато решим уравнението, веднага ще отговорим на въпроса в задачата.

броят на момчета: x

• Определяме кои са допустимите стойности на неизвестното

Отговаряме си на въпроса какво число може да бъде нашето неизвестно. След като търсим брой момчета, той трябва да е положително цяло число. Ако получим различно число, трябва да се върнем още в началото и да потърсим грешката си.

• Съставяме уравнението

За да съставим уравнението, трябва внимателно да прочетем условието и да помислим как да използваме цялата информация

В нашата задача имаме общо 26 ученика. Вече избрахме броят на момчетата да бъде изразен с x.

Тогава можем да изразим чрез неизвестното и броят на момичетата:

момичета: (26 — x)

Сега изразяваме броят на рисунките на момичетата и момчетата (трябва да умножим броят на момичетата или момчетата по броят рисунки, които са направили). Знаем, че момчетата имат по една рисунка, а момичетата- по две. Получаваме:

брой рисунки момчета: 1.x

брой рисунки момичета: 2.(26 —x)

Съставяме уравнението, като използваме, че общият брой рисунки е сбор от рисунките на момичетата и момчетата:

1x + 2.(26 —x) = 36

• Решаваме уравнението

Ако сте забравили как се решават уравнения, може да си припомните ето тук: Правила за решаване на уравнения

1x + 2.(26 —x) = 36

x + 52 — 2x = 36

x — 2x = 36 — 52

—x = — 16

x = 16

Броят на момчетата е 16.

• Проверка на решението

Първо да видим дали е допустима получената стойност за броя на момчетата. 16 е цяло, положително число!

За да сме сигурни, че не бъркаме, заместваме полученото неизвестно в нашето уравнение и проверяваме дали ще получим вярно равенство:

1.16 + 2.(26 —16) = 36

16 + 2.10 = 36

16 + 20 = 36

Получихме вярно равенство, задачата ни е решена правилно!

Задача за път (задача от движение)

Да решим една интересна задача, която използва връзката между величините скорост на движение, време за движение и изминат път.

Турист изкачил връх Вихрен като се движил със скорост 3,5 km/h. На връщане решил да мине по същия път и се движил със скорост 4,2 km/h. На слизане той успял да измине разстоянието с 45 минути по-бързо, отколкото на отиване. Колко часа е отнело на туриста да изкачи връх Вихрен?

Ще минем през стъпките, които вече описахме по-горе.

• Избираме подходящо неизвестно

времето за качване: x

• Определяме кои са допустимите стойности на неизвестното

Времето трябва да е положително число. Допустими са както цели, така и дробни числа.

• Съставяме уравнението

Изразяваме времето за връщане, като използваме, че неизвестно е времето за качване.

Важно е двете времена да са в една и съща мерна единица. Въпросът в задачата изисква да отговорим в часове, затова трябва да изразим минутите в часове.

45 min = 45/60 h = 3/4 h = 0,75 h

време за слизане: (x — 0,75)

Ето как са свързани величините скорост на движение (V), изминат път (S), време за движение (t):

S = V.t

За да съставим уравнението, остава да се сетим, че в двете посоки туристът е изминал един и същи път. На качване изминатият път е 3,5.x, а на слизане: 4,2.(x — 0,75)

Получаваме:

3,5.x = 4,2.(x — 0,75)

• Решаваме уравнението

3,5x = 4,2.(x — 0,75)

3,5x = 4,2x — 4,2.0,75

3,5x = 4,2x — 3,15

3,15 = 4,2x — 3,5x

3,15 = 0,7x

x = 3,15:0,7

x = 31,5:7 = 4,5 h

• Проверка на решението

Получихме положителна стойност за изминатия път при изкачването. Сега ще направим проверка като заместим полученото решение в условието:

3,5.4,5 = 4,2.(4,5— 0,75)

15,75 = 4,2.3,75

Получаваме вярно равенство, тогава сме решили задачата вярно!

Практическа задача

Да видим решението на една супер полезна практическа задача в следващото видео!

Време е да се упражните с теста!