Прости и съставни числа. Разлагане на естествени числа на прости множители

Здравейте, ученици! Днес ще се запознаем с понятията прости и съставни числа и ще научим как да разлагаме естествени числа на прости множители. Това са важни уроци в математиката, които ще ви помогнат в по-нататъшното изучаване и усвояване на материала.

1. Какво са прости числа?

Прости числа са тези числа, които имат точно два делителя – 1 и самото число. Това означава, че те не могат да се разделят на други числа, освен на 1 и на себе си.

1.1. Примери за прости числа:

• 2 (делители: 1, 2)
• 3 (делители: 1, 3)
• 5 (делители: 1, 5)
• 7 (делители: 1, 7)

Забележка: Числото 2 е единственото четно просто число.

2. Какво са съставни числа?

Съставни числа са тези числа, които имат повече от два делителя. Те могат да бъдат разделени на други числа, различни от 1 и на самото число.

2.1. Примери за съставни числа:

• 4 (делители: 1, 2, 4)
• 6 (делители: 1, 2, 3, 6)
• 8 (делители: 1, 2, 4, 8)
• 9 (делители: 1, 3, 9)

ЗАПОМНИ: Числото 1 не е нито просто, нито съставно число!

3. Разлагане на естествени числа на прости множители

Разлагането на число на прости множители означава да го представим като произведение от прости числа. Това е важно, защото ни помага да разберем структурата на числото и да решаваме задачи, свързани с деление и кратност.

Пример 1: Разлагане на числото 18

1. Започваме с най-малкото просто число – 2. Проверяваме дали 18 се дели на 2.
   • 18 : 2 = 9 (значи 18 = 2 . 9)
2. Сега разлагаме 9. Понеже 9 не се дели на 2, преминаваме към следващото просто число – 3.
   • 9 : 3 = 3 (значи 9 = 3 . 3)
3. Получаваме, че 18 = 2 . 3 . 3
4. Друг начин, по който да се запише разлагането на 18 на прости множители е следният:

Пример 2: Разлагане на числото 60

1. Проверяваме дали 60 се дели на 2.
   • 60 : 2 = 30 (значи 60 = 2 . 30)
2. Разлагаме 30. Тъй като 30 се дели на 2:
   • 30 : 2 = 15 (значи 30 = 2 . 15)
3. Разлагаме 15. Понеже 15 не се дели на 2, преминаваме към 3:
   • 15 : 3 = 5 (значи 15 = 3 . 5)
4. Получаваме, че 60 = 2 . 2 . 3 . 5
5. Друг начин, по който да се запише разлагането на 60 на прости множители е следният:

4. Примерни задачи

Задача 1: Намерете простите множители на числото 45.

• Решение: 45 се дели на 3, 45 : 3 = 15; 15 се дели на 3, 15 : 3 = 5; 5 е просто число.
• Отговор: 45 = 3 . 3 . 5
• Или още:

Задача 2: Разложете числото 84 на прости множители.

• Решение: 84 се дели на 2, 84 : 2 = 42; 42 се дели на 2, 42 : 2 = 21; 21 се дели на 3, 21 : 3 = 7.
• Отговор: 84 = 2 . 2 . 3 . 7
• Или още:

Задача 3: Кое е най-голямото просто число, което дели числото 100?

• Решение: Разлагаме 100 на прости множители: 100 = 2 . 2 . 5 . 5. Най-голямото просто число е 5.
• Отговор: 5
• Или още:

Задача 4: В училищната библиотека има 24 книги по математика и 36 книги по литература. Те трябва да се разпределят по равно в най-много възможни кутии, без да останат книги. Колко кутии ще има и по колко книги ще има във всяка кутия?

• Решение: Разлагаме числата 24 и 36:
  • 24 = 2 . 2 . 2 . 3
  • 36 = 2 . 2 . 3 . 3
  • Общите прости множители са 2 . 2 . 3 = 12.
  • Значи, може да има най-много 12 кутии, всяка съдържаща по 2 книги по математика и 3 книги по литература.
  • Отговор: 12 кутии, по 5 книги във всяка.

5. Практически задачи

1. Разложете числото 56 на прости множители.
   • Отговор: 56 = 2 . 2 . 2 . 7
   • Или още:

1. Намерете простите множители на числото 72.
   • Отговор: 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3
   • Или още:

1. Разложете числото 90 на прости множители.
   • Отговор: 90 = 2 . 3 . 3 . 5
   • Или още:

1. Кое е най-малкото просто число, което дели числото 77?
   • Отговор: 7
   • Разлагането може да се запише по следния начин:

1. Намерете всички прости числа до 30.
   • Отговор: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Надяваме се, че тази статия ви помогна да разберете какво са прости и съставни числа, както и как да разлагате числа на прости множители. Успех в покоряването на нови математически висоти!

Ако искаш да разбереш и да тренираш своите знания за простите числа, изгледай видеото долу: