Прав кръгов конус. Елементи.
Привет, шестокласници! Ето, че е време да се запознаем с ново геометрично тяло-прав кръгов конус! Ще научим как се образува, кои са елементите му и какво представлява развивката на прав кръгов конус.
Образуване на прав кръгов конус
Със сигурност сте срещали около вас много предмети, които са с формата на прав кръгов конус.
Ето няколко от тях!
Конусът, също както цилиндъра, е ротационно (валчесто тяло). Той се образува при завъртането на геометрична фигура около неин елемент. Опитайте се да познаете сами коя е тази фигура!
Досетихте ли се? Може би някои от вас са предположили кръг, тъй като основата на конуса е кръг?
Всъщност, за да получим конус, е достатъчно да завъртим правоъгълен триъгълник около единия му катет. Не забравяйте, че триъгълникът е правоъгълен, тъй като в противен случай няма да получим прав кръгов конус.
Катетът, около който завъртаме правоъгълния триъгълник, съвпада с оста на конуса и дължината му е равна на височината на конуса. Другият катет очертава кръг, който представлява основата на конуса. Хипотенузата на триъгълника образува коничната повърхнина.
Елементи на прав кръгов конус
Да разгледаме отново нашия цилиндър и елементите му.
Катетът, около който завъртаме правоъгълния триъгълник, съвпада с оста на конуса.
Другият катет на правоъгълния триъгълник образува при завъртането си основата на конуса, която е с формата на кръг. Дължината на този катет е равна на радиуса на основата, който се означава по познатия вече начин — r.
Разбира се, след като основата е кръг, то конусът ще има и диаметър, който е равен на диаметъра на основата, означава се с d.
Хипотенузата на правоъгълния триъгълник образува коничната повърхнина. Дължината на хипотенузата е равна на дължината на образуващата (образувателната) на конуса. Подобно на цилиндъра, тя се означава с буквата l.
Разстоянието от върха на конуса до центъра на основата се нарича височина на конуса. Означава се с h.
Можем да приложим Питагоровата теорема, за да намерим някой от елементите на конуса!
r2 + h2 = l2
Развивка на прав кръгов конус
Ако разрежем конус по образувателната и окръжността на основата, ще получим един кръгов сектор и долепен до него кръг. Развивката изглежда ето така:
Дължината на дъгата на кръговия сектор е равна на дължината на основата на конуса.
Можем да изчислим дължината на дъгата на кръговия сектор, ако знаем радиуса на основата, както и обратното.
Да видим какви задачи можем да решаваме с елементи на прав кръгов конус!
Основни задачи с елементи на прав кръгов конус
Задача №1
По данните от чертежа запишете (в дециметри) дължините на:
а) радиуса на конуса
б) височината на конуса
в) образувателната на конуса
Решение:
а) Радиусът на конуса е равен на радиуса на основата му. Изчисляваме го, като вземем предвид диаметъра на основата.
d = 600 mm = 60 cm = 6 dm
r = d/2 = 6/2 = 3 dm
б) Височината на конуса е разстоянието от върха му до центъра на основата
h = 0,4 m = 4 dm
в) Прилагаме Питагорова теорема за правоъгълния триъгълник, образуван от радиуса, височината и образуващата на конуса:
r2 + h2 = l2
32 + 42 = l2
l2 = 9 + 16 = 25
l = 5 dm
Тук трябва да отбележим, че и (—5)2 = 25, но образуващата трябва да е положително число.
Задача №2
Намерете елементите на прав кръгов конус, получен при завъртането на правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm около:
а) по-късия катет
б) по-дългия катет
Решение:
При завъртането около по-късия катет ще получим следния конус:
При това въртене елементите ще са следните:
Височината е равна на дължината на катета, около който въртим. Радиусът е равен на дължината на другия катет. Остава да приложим Питагорова теорема, за да намерим образуващата.
h = 6 cm
r = 8 cm
r2 + h2 = l2
82 + 62 = l2
l2 = 64 + 36 = 100
l = 10 cm
б) при друго завъртане получаваме ето този конус:
В този случай са разменени стойностите на радиуса и височината, но образуващата ще има същата дължина, като първия конус.
h = 8 cm
r = 6 cm
r2 + h2 = l2
62 + 82 = l2
l2 = 36 + 64 = 100
l = 10 cm
Вече научихме елементите на прав кръгов конус и е време за упражнение!
